Lección
Las colisiones crecen más rápido que la intuición
El número de pares posibles crece aproximadamente con el cuadrado del tamaño del grupo.
Por el equipo editorial de Math Says Yes
Revisado por humanos según nuestros estándares de fuentes y corrección.
Cómo revisamos el contenido
Cuenta pares, no personas
Los problemas de colisión son fáciles de subestimar porque el recuento visible es el número de personas, mientras que el recuento real es el número de relaciones posibles entre ellas. Diez personas no crean diez comparaciones de cumpleaños. Crean 45 pares. Veintitrés personas crean 253 pares. Cada par es otra oportunidad de coincidencia, por lo que la de ver al menos un cumpleaños compartido aumenta mucho más rápido de lo que sugiere el número de personas.
Por qué el resultado del cumpleaños se siente mal
La mayoría de la gente imagina a una persona comparando su cumpleaños con el de todos los demás, lo cual es solo una pequeña parte de la habitación. La sorpresa aparece porque cada persona también se compara con cualquier otra persona. No estás preguntando si alguien coincide contigo. Estás preguntando si dos personas cualesquiera coinciden entre sí. Ese cambio de un punto de referencia a todas las comparaciones por pares es toda la lección.
Dónde aparecen las colisiones
El mismo patrón aparece fuera de los cumpleaños. Los hashes de contraseñas, las placas de matrículas, los nombres de archivos, los nombres de usuario, los identificadores aleatorios y los sorteos estilo lotería se vuelven más propensos a colisiones a medida que aumenta el número de entradas. Un sistema puede parecer espacioso cuando comparas un nuevo elemento con todo el rango, pero lleno cuando comparas cada elemento con todos los demás elementos. Es por eso que la detección de duplicados importa incluso cuando las individuales parecen diminutas.
La comprobación práctica
Cuando una coincidencia parece increíble, haz una pausa antes de calificarla de significativa. Pregúntate cuántas oportunidades tuvo el mundo de producirla. Cuenta las comparaciones, búsquedas, intentos o pares que estaban disponibles antes de que el evento llamara tu atención. Si ese recuento de oportunidades ocultas es grande, la coincidencia puede ser ordinaria. La pregunta útil no es solo cuán rara es una coincidencia exacta, sino cuántas oportunidades hubo para cualquier coincidencia.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la paradoja del cumpleaños no es realmente una paradoja?
Solo se siente paradójica porque contamos personas en lugar de pares. Una vez que cuentas cada par posible en la habitación, el resultado del 50 por ciento con 23 personas es mucho menos misterioso.
¿Qué pregunta debo hacer cuando una coincidencia parece imposible?
Pregunta cuántas oportunidades existieron para que ocurriera una coincidencia similar. Un evento raro puede volverse probable cuando hay cientos, miles o millones de posibilidades ocultas.
Prueba la idea
Sala de cumpleaños
Agrega a una persona y observa cómo se despliegan sus nuevas comparaciones.
Con 23 personas en una sala, ¿cuántos pares diferentes son posibles?
Elige una respuesta, luego arma la sala y observa cómo se multiplican los pares.
Comprobación rápida
¿Por qué la paradoja del cumpleaños se vuelve probable con solo 23 personas?
A
Porque 23 está cerca de 365 dividido entre 12.
B
Porque hay 253 pares posibles para comparar.
C
Porque los cumpleaños son principalmente en un mes.