Colección
Muestra y media aritmética
Lo que las media aritmética pueden y no pueden decirte, y por qué el tamaño de la muestra lo cambia todo.
La reseña de un solo producto puede decir cualquier cosa. Cien reseñas empiezan a significar algo. Ese cambio de un número ruidoso a una media aritmética estable es donde vive la mayor parte de la estadística práctica, y cada página de esta colección trabaja en alguna parte de ello.
La mecánica va primero. Los asistentes a la feria de Galton adivinaron el peso de un buey mejor juntos que cualquier experto solo, y las medias aritméticas de casi cualquier dato desordenado se asientan en la misma forma de campana a medida que crecen las muestras. Sin embargo, la precisión obedece a una terca regla de la raíz cuadrada: para reducir el error a la mitad, necesitas cuatro veces los datos.
Luego vienen las trampas. Las muestras pequeñas oscilan lo suficiente como para coronar falsos ganadores. Los resultados extremos vuelven a la normalidad en la siguiente medición, que es cómo los entrenadores y las cámaras de velocidad obtienen un mérito que no se ganaron. Y cuando los datos están sesgados, la media aritmética y la mediana dejan de coincidir, por lo que la primera pregunta sobre cualquier promedio es cuál te dieron.
Si tomas decisiones a partir de paneles o reseñas, estas páginas te dicen cuánto ruido debes esperar para un tamaño de muestra dado. Por lo general, eso es suficiente para detener una mala decisión.
El ruido disminuye lentamente
Duplicar tus datos no reduce tu error a la mitad; cuadriplicarlos sí. Esa aritmética de raíz cuadrada explica por qué las encuestas se estancan cerca de mil encuestados y por qué la última cifra decimal de precisión es siempre la más costosa. Calcúlalo en el presupuesto antes del estudio, no después.
Los extremos vuelven a la normalidad
Elige cualquier cosa porque fue extrema, un trimestre récord o una tasa de error de las peores de su clase, y su siguiente medición por lo general se situará más cerca del promedio sin ninguna intervención. La regresión a la media es la explicación que debes descartar antes de atribuir el mérito a una solución, un entrenador o una directriz.
¿Qué promedio te dieron?
Una calle donde nueve casas se venden cerca de 250.000 y una se vende por 2 millones tiene una media aritmética superior a 400.000 que no describe ninguna casa real. La asimetría aleja la media aritmética de la mediana, y la mayoría de los datos de dinero tienen asimetría. Cuando un informe dice "promedio", averiguar cuál es la mitad del análisis.
Datos destacados
Psicología de los números
4 min · fácil
La multitud en una feria adivinó casi a la perfección el peso de un buey
En una feria rural de 1906, la mediana de cientos de estimaciones independientes sobre el peso de un buey quedó a más o menos el 1% de la verdad, superando a casi cualquier estimación individual.
Probabilidad
4 min · medio
El teorema del límite central hace que los promedios parezcan normales
Los datos individuales pueden estar sesgados o ser desordenados, mientras que los promedios de muchas observaciones independientes a menudo forman un patrón limpio en forma de campana.
Trucos de datos
4 min · fácil
Tener el doble de datos no hace que las estimaciones sean el doble de precisas
Para muchos promedios, reducir a la mitad el error aleatorio requiere aproximadamente cuatro veces más observaciones. La precisión tiene rendimientos de raíz cuadrada.
Paradojas
4 min · medio
Los mejores suelen empeorar la próxima vez
Los máximos anotadores de un equipo, los mejores estudiantes de un examen y los pacientes más graves de una clínica tienden a acercarse al centro en la siguiente medición sin ninguna intervención, porque el resultado extremo se debió en parte a la habilidad y en parte a la suerte, y la suerte rara vez se repite.
Trucos de datos
4 min · medio
Los pueblos más pequeños encabezan las listas de los mejores y los peores
Clasifica los lugares por cualquier tasa —cáncer, puntajes de exámenes, delincuencia— y los extremos están dominados por los lugares más pequeños, porque las muestras pequeñas se alejan mucho de la tasa real solo por suerte.
Trucos de datos
5 min · fácil
Media aritmética frente a mediana: ¿qué promedio debes usar?
La media aritmética reparte el total por igual. La mediana encuentra el caso intermedio. En datos sesgados, estos pueden contar historias muy diferentes.
Lecciones
Las muestras pequeñas son ruidosas
Una muestra pequeña puede alejarse mucho de la verdad solo por suerte, mientras que una más grande promedia esa suerte. Esta lección muestra cómo la dispersión se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra y por qué los grupos más pequeños dominan los extremos de cualquier clasificación.
Los promedios se estabilizan en su forma
Las observaciones individuales pueden ser desordenadas, sesgadas o con picos, pero los promedios de muchas observaciones independientes a menudo se establecen en un patrón predecible en forma de campana.
Los extremos vuelven al promedio
Los resultados de récord y los peores resultados suelen acercarse al promedio la próxima vez, sin ninguna causa detrás.
La precisión tiene rendimientos de raíz cuadrada
Más datos ayudan, pero el error aleatorio se reduce lentamente: para reducir a la mitad el ruido en un promedio, por lo general necesitas cuatro veces más observaciones.
Los errores independientes se cancelan
Promedia muchas conjeturas independientes y sus errores aleatorios se compensan, dejando una estimación más cercana a la verdad que la de la mayoría de los individuos.
Conceptos
Ley de los grandes números
A medida que una muestra crece, su promedio se acerca al promedio real y las fluctuaciones aleatorias se reducen, aproximadamente en proporción a 1 sobre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Las muestras pequeñas pueden alejarse mucho de la verdad por pura casualidad, razón por la cual un puñado de observaciones es tan fácil de malinterpretar.
Teorema del límite central
El teorema del límite central establece que los promedios de muchas influencias aleatorias independientes y de tamaño similar tienden a formar una distribución de muestreo en forma de campana, incluso cuando los datos originales no tienen forma de campana. Explica por qué los promedios suelen ser más predecibles que las observaciones individuales.
Regresión a la media
Una medición extrema suele ser una mezcla de una parte estable y repetible y otra parte afortunada de una sola vez. Como la parte afortunada rara vez se manifiesta de la misma manera dos veces, la siguiente medición de lo mismo tiende a acercarse al promedio. No se trata de una fuerza que atraiga las cosas hacia el centro. Es simplemente el aspecto que tiene la selección por suerte cuando se vuelve a medir.
Error estándar
El error estándar es la fluctuación típica de muestreo de una estimación, como una media aritmética. Para observaciones independientes, el error estándar de una media aritmética se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, por lo que reducir el error a la mitad suele requerir cuatro veces más datos.
Los promedios engañan
La media aritmética lo suma todo y lo divide, por lo que unos pocos valores extremos pueden alejarla mucho del caso típico. En datos sesgados, la mediana —el valor central— representa mejor lo que es normal. Pregunta por la forma de los datos, no solo por su promedio.
Estadísticas de resumen
Las estadísticas de resumen comprimen un conjunto de datos en números como la media aritmética, la varianza, la correlación o la línea de regresión. Son útiles, pero pueden ocultar formas, valores atípicos, grupos y relaciones curvas que un gráfico revelaría de inmediato.